Теории поля с примерами решения и образцами выполнения

1. Шар на пружине, ньютоновская версия 2. Квантовый шар на пружине 3. Волны, классический вид 4. Волны, классическое уравнение движения 5. Квантовые волны 6. Поля 7. Частицы – это кванты 8. Как частицы взаимодействуют с полями На самом деле мы уже некоторое время назад зашли на территорию полей, просто я вас об этом не предупредил – я хотел сконцентрироваться на волнах, возникающих на этих полях. Описывая то, как ведут себя волны, мы выражали их форму и зависимость от времени при помощи функции Z(x,t). Ну так вот, Z(x,t) – это поле. Это функция пространства и времени с уравнением движения, определяющим её поведение. Подходящей функцией движения была бы такая, что если Z увеличивается или уменьшается в определённой точке, то Z будет уменьшаться или увеличиваться в соседних точках чуть попозже. Эта особенность позволяет волнам оказываться в числе решений уравнения.

В этой статье мы посмотрим на несколько примеров полей Z(x,t), чьи уравнения движения разрешают наличие волн. Физическая интерпретация у этих полей будет самой разной. Они описывают разные свойства разных материалов. Но уравнения, которым они удовлетворяют, и волны, которые они демонстрируют, будут удовлетворять очень похожей математике, и вести они себя тоже будут похоже, несмотря на различное физическое происхождение. Это в будущем станет очень важным моментом. А затем мы сделаем нечто радикальное – рассмотрим поля в контексте специальной теории относительности. Как показал Эйнштейн, если вы подправите пространство и время и заставите их вести не так, как ожидает большая часть людей, вы получите поле нового типа – такое, что его физическая интерпретация будет не свойством чего-либо ещё, а самостоятельным физическим объектом.

Скалярное поле

К примеру, мы можем измерять температуру зимой в различных точках комнаты.

При этом, чем ближе к батарее центрального отопления и чем выше к потолку, тем выше будет температура. А в точках у пола и в отдалении от нагретой батареи температура будет ниже на несколько градусов.

Рассмотрим трехмерное пространство (рис. 1) и какую-нибудь точку, расположенную в этом пространстве. Обозначим точку большой латинской буквой, например P.

Рис. 1. Каждой точке в трехмерном пространстве в соответствие поставлены три числа на осях

Этой точке поставлены в соответствие три числа x, y, z, лежащие на осях Ox, Oy, Oz. Такие числа называют координатами точки. Обычно математики записывают координаты точки рядом с ее названием: \(\large P\left( x ; y ; z \right)\).

Мы можем дополнительно поставить в соответствие этой точке четвертое число – температуру t в градусах Цельсия (рис. 2).

Рис. 2. Пример распределения температуры в комнате, во время сезона отопления

Составим таблицу, в которой будут содержаться координаты точек пространства и температура в этих точках. Так мы упорядочим информацию о распределении температуры в комнате.

По такой таблице можно построить графики, на которых изобразим, как именно температура будет зависеть от какой-либо координаты пространства.

Эта таблица и графики содержат информацию о поле температур.

Так как распределенная по комнате температура является скалярной величиной, то поле температуры называют скалярным. А таблица задает скалярную функцию, описывающую распределение температуры в комнате.

Такая функция связывает координаты точки и значение физической величины – температуры в этой точке.

Это обычная функция, наподобие тех, с которыми вам приходилось решать примеры на школьной математике. Только эта функция зависит не от одной переменной x, а от трех переменных величин — координат x, y, z точек, расположенных в трехмерном пространстве.

\[\large \varphi = f \left( x ; y ; z \right)\]

А четвертая величина – температура, будет являться значением этой функции. Наподобие числа «y» для функции одной переменной «x».

Векторное поле

Предположим, что в углу комнаты лежит большой магнит. А мы ходим по комнате со шнурком, к одному концу которого привязан железный гвоздь. Второй конец шнурка держим в горизонтально вытянутой руке.

Расхаживая по комнате, мы заметим, что в некоторой области комнаты шнурок с гвоздем отклоняется от вертикального положения в сторону магнита.

Чем ближе мы подходим к магниту, тем сильнее он притягивает гвоздь. Тем больше усилий нужно приложить, чтобы удержать шнурок в руке.

Такие поля, наподобие поля, созданного магнитом, называют силовыми полями.

Поля силовые – это векторные поля, так как распределенная по комнате и измеренная в различных точках комнаты сила – это векторная величина.

Теперь каждой точке комнаты мы можем поставить в соответствие не только координаты точки, но и вектор F силы, действующей на гвоздь в этой точке.

Составим таблицу и запишем в нее координаты каждой выбранной точки комнаты и координаты вектора силы, с которой магнит действует на гвоздь в этой точке.

У вектора силы в каждой отдельной точке будут свои характеристики — длина и направление. Поэтому, таблица, содержащая информацию о силе в каждой точке комнаты, будет содержать 6 строк. Три строки – это координаты точки, и три строки – координаты вектора.

Такая таблица задает функцию, которую математики называют сокращенно «вектор-функцией».

Вектор-функцию, описывающую векторное поле, можно обозначить так:

\(\large \overrightarrow{A \left( P \right)} \) – вектор-функция. Подробнее можно записать ее таким способом:

\[\large \boxed{ \overrightarrow{A \left( P \right)} = A_{x}\left( x ; y ; z \right) \cdot \vec{i} + A_{y}\left( x ; y ; z \right) \cdot \vec{j} + A_{z}\left( x ; y ; z \right) \cdot \vec{k} }\]

\( A_{x}\left( x ; y ; z \right) ; A_{y}\left( x ; y ; z \right) ; A_{z}\left( x ; y ; z \right) \) – это компоненты (части) вектор функции.

\( \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k} \) – орты.

Обычно в школе такие функции не изучают. Но вы теперь знаете, что кроме обычных — скалярных функций, существуют вектор-функции.

Из записи видно, что векторная функция отличается от скалярной тем, что имеет три компоненты (части). Каждая компонента (часть) зависит от трех координат точки P пространства.

Что с лицензией?

Несмотря на схожесть общей концепции «Поля чудес» и «Колеса фортуны», создатели российского шоу никогда не приобретали права на адаптацию американского формата. По данным газеты «Коммерсант», переговоры с компанией King Bros, которая и владеет правами на «Колесо…», проводились в 1990 году, когда шла речь о выходе шоу в эфир, но тогда американские бизнесмены советским телевизионным рынком не заинтересовались.

Правда, в те времена у «Wheel Of Fortune» были заботы посерьезнее. Придумал это шоу в 1975 году именитый Мерв Гриффин. Он вообще был очень креативным человеком: на его счету, к примеру, «Jeopardy!» (в России передачу знают как «Свою игру» на НТВ). «Колесо фортуны» выходило на канале NBC, потом ненадолго перебралось на CBS, но как раз в конце 1980-х почти полностью переходило в синдицированный формат, когда шоу делали для показа по нескольким телесетям одновременно. Именно в таком виде оно и прожило до наших дней, но при этом почти не потеряло в популярности.

Любопытно, что в начале 1990-х представители King Bros пытались продать свой формат каналу РТР (сейчас — «Россия-1»), но неудачно. В итоге «Поле чудес» оставалось продуктом . Пока неизвестно, что за «предложенные изменившиеся условия» помешали дальнейшему сотрудничеству теле и Первого канала.

Шоу с капиталом и Якубовичем. Феномен программы «Поле чудес» Подробнее

Какое поле называют стационарным

Многие процессы, происходящие вокруг нас, изменяются во времени. Например, температура в полдень жаркого летнего дня будет выше, чем температура перед закатом этого же дня. Иными словами, скалярная величина – температура воздуха на улице, а значит и, ее поле, изменяются со временем.

В противоположность этому, поле температуры в закрытом помещении зимой изменяться не будет. Конечно, если батареи центрального отопления будут иметь одинаковую температуру в течение продолжительного времени.

Величины и процессы, изменяющиеся во времени, называют нестационарными. А стабильные, не изменяющиеся с течением времени величины – стационарными.

Если поле не изменяется с течением времени, его называют стационарным. А если изменяется – тогда нестационарным.

Все ли поля можно почувствовать

Мы можем чувствовать поле температур, благодаря тому, что на коже у нас содержатся особые рецепторы, способные воспринимать температуру окружающей среды.

Однако, не все поля люди могут ощущать. Например, мы невосприимчивы к магнитным и электрическим полям, потому, что у нас нет органа, способного улавливать их изменения.

Как же тогда мы узнали о электрических и магнитных полях? Мы нашли тех, кто может чувствовать эти поля.

Некоторые рыбы способны улавливать изменение электрического поля. Например, электрический скат (рис. 3) улавливает электрические сигналы и благодаря этому прекрасно ориентируется. У него есть для этого специальные органы, в отличие от человека. Отдельные скаты способны генерировать электрические разряды напряжением до 200 вольт.

Рис. 3. Электрический скат умеет чувствовать электрическое поле

Электрический угорь (рис. 4) может достигать 2,5 метров в длину. Он способен не только улавливать электрические поля, но и генерировать мощные электрические разряды напряжением до 860 Вольт и силой тока до 1 Ампера. Использует их, преимущественно охотясь на добычу, или спасаясь от других хищников.

Рис. 4. Электрический угорь чувствует электрическое поле и может вырабатывать электрические импульсы

Способность улавливать изменение электрического поля называют электрорецепцией. Ее обнаружили у некоторых рыб, амфибий и млекопитающих – утконоса и ехидны. Она используется для охоты, общения и улавливания магнитного поля земли.

Перелетные птицы, например, журавли (рис. 5), содержат орган, способный улавливать изменение магнитного поля Земли. Благодаря этому они ориентируются в пространстве во время перелетов в теплые края.

Рис. 5. Перелетные птицы ориентируются по магнитному полю Земли

Как мы можем обнаружить поле без помощи животных?

Для обнаружения электрического поля мы будем использовать электрический заряд. Потому, что поле действует электрической силой на заряды, помещенные в него.

А, чтобы обнаружить магнитное поле, мы можем воспользоваться небольшим магнитом, или железным предметом. Потому, что магнитное поле будет воздействовать на них.

Содержание

• 1 История
• 2 Классические поля 2.1 Ньютоновская гравитация
• 2.2 Электромагнетизм 2.2.1 Электростатика
• 2.2.2 Магнитостатика
• 2.2.3 Электродинамика

Как обозначают поля на рисунках

Рассмотрим часть карты мира. Обратим внимание на то, что области частей карты закрашены различными цветовыми оттенками (рис. 6).

Рис. 6. Различные уровни высот на карте раскрашены разными цветами

Так же, в одном из углов карты можно заметить разноцветную табличку, наподобие, нарисованной поверх карты на рисунке. На ней нарисована шкала высот и глубин и, рядом с каждым оттенком записаны цифры, обозначающие высоту или глубину в метрах.

Примечание: Высоты и глубины на местности обозначают с помощью областей, имеющих различные цвета, для наглядности. Чем ближе к красному цвету, тем выше, а чем ближе к фиолетовому, тем глубже.

По краям цветовых областей проведены тонкие границы, они ограничивают области, имеющие одинаковый уровень высот. Такие границы называют линиями уровня.

Высота или уровень – это скалярная величина. Поэтому, мы можем сказать, что с помощью цветных областей и линий на их границах задано поле, описывающее распределение высот на поверхности Земли.

Скалярное поле можно изобразить с помощью линий уровня.

Вспомним теперь пример с магнитом и гвоздиком. В каждой точке комнаты можно нарисовать вектор силы, с которой магнит притягивает железный гвоздь (рис. 7).

Рис. 7. Силы выстраиваются вдоль некоторых линий, их называют силовыми линиями поля

Чем ближе к магниту, тем больше сила притяжения, тем длиннее векторы. Можно обратить внимание, что векторы силы как бы располагаются вдоль некоторых линий. Они дополнительно проведены пунктиром на рисунке. Видно, так же, что эти линии искривлены.

Такие линии, вдоль которых выстаиваются векторы силы, называют силовыми линиями. Силовые поля – векторные.

Векторные поля изображают с помощью силовых линий. Вдоль таких линий выстраиваются векторы сил. Эти линии имеют и другие названия.

Связь между скалярными и векторными полями

Скалярному полю можно поставить в соответствие векторное поле. Вернемся к примеру обозначения высот на карте (рис. 6). Мы знаем, что на карте имеются области, на которых присутствуют резкие перепады высот. На таких участках есть несколько градаций цветовых оттенков, а области, имеющие различные цвета, в таких местах располагаются чаще.

Чтобы обозначить резкие перепады высот, придумали использовать специальный вектор – вектор градиента. Он описывает, как быстро изменяется скалярная величина – например, высота на карте местности.

Этот вектор обозначают так:

\[\large \boxed{ \overrightarrow{grad \left( h \right)} }\]

Примечание: Градиент, от слова градация – его можно перевести, как сорт, или изменчивость. Например, градации яркости имеют различные оттенки серого цвета. В школьной физике вектор градиента обычно не рассматривают.

Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания физической величины. А длина вектора градиента равна скорости, с которой возрастает физ. величина в этом направлении.

На разных участках карты присутствуют различные перепады высот, где-то высота изменяется быстрее, а где-то — медленнее. Значит, в различных областях местности вектор градиента будет иметь разную длину.

А если в пространстве распределена векторная величина, то говорят, что задано поле такой физ. величины.

Так, мы получили два связанных поля – скалярное поле высоты и векторное поле градиента, описывающее скорость изменения высоты в различных областях местности.

Для примера, описывая электрическое поле мы будем использовать две величины – скалярную — потенциал электростатического поля и векторную – напряженность электрического поля. Эти величины связаны между собой с помощью вектора градиента.

Краткая история изучения электрического поля

Считается, что инженер и физик Шарль Кулон стал первым исследователем взаимодействия статичных зарядов. Именно он вывел принцип их взаимодействия. Фундаментом исследований Кулона стала теория гравитационного взаимодействия Исаака Ньютона.

Ганс Эрстед стал учёным, открывшим магнитные свойства электрического тока и поля, а благодаря Джеймсу Максвеллу мы знаем, что электрическое поле не может существовать без магнитного, которое и индуцирует его. Также Максвелл утвердил концепцию близкодействия электромагнитных взаимодействий.

Советую прочитайте про свойства магнитного поля.

Ганс Эрстед и Джеймс Максвелл
Тем не менее, электрическое поле стало объектом человеческих исследований задолго до последних веков. Ещё Фалес Милетский в 7 веке до нашей эры исследовал природу статического электричества.

В конце 19 века Джозефом Томсоном был открыт электрон – «живой» образец носителя электричества. Спустя годы Эрнст Резерфорд доказал место в структуре атомов, на котором располагаются электроны.

Однородные и неоднородные поля

Поле однородное, если в каждой точке пространства оно имеет одно и то же значение распределенной величины.

Например, температура во всех точках пространства имеет одно и то же значение. Или, электрическое поле действует на помещенный в него заряд во всех точках пространства с одной и той же силой.

Однородные силовые поля изображают прямыми линиями, расстояние между которыми не изменяется (рис. 8а).

Рис. 8. Линии однородного – а) и неоднородного – б) поля

Распределенные заряды могут создавать однородные поля. Электрическое поле, существующее между двумя заряженными параллельными плоскостями, однородное.

Если же в разных точках пространства поле действует на пробный заряд с различными силами, тогда поле называют неоднородным. Линии неоднородных полей кривые и расстояние между ними изменяется (рис. 8б).

Поле неоднородное, если в разных точках пространства оно имеет различные значения распределенной величины.

Например, поле магнита – это неоднородное поле, потому, что сила воздействия магнита возрастает по мере приближения к нему. Электрическое поле вокруг точечного заряда, так же неоднородное, потому, что сила воздействия на пробный заряд возрастает с уменьшением расстояния до заряда, создавшего поле.

По силовым линиям можно узнать величину поля. Чем гуще располагаются линии поля в какой-либо области, тем больше величина поля в этой области.

Электрический диполь

Данный термин обозначает элементарную совокупность точечных зарядов, которые имеют системные признаки. Диполем называется сумма зарядов, противозначных, но равных по величине, и сдвинутых один от другого на определённое расстояние.

Диполи бывают разные, но наибольшее внимание физическая наука уделяет точечным диполям. Так называются диполи, которые характеризуются пренебрежимо маленьким расстоянием от отрицательного заряда до положительного. Если в теории совокупность зарядов разделить на множество частей, её можно будет рассматривать как систему электрических диполей.

Электрический дипольный момент

Примеры скалярных полей

Это поля распределения скалярных величин — плотности, давления, гравитационного и электростатического потенциалов, температуры, высот и т. п.

Поле плотности зарядов

Когда в трехмерном пространстве распределены заряды, мы можем говорить о плотности такого распределения. Плотность зарядов – величина скалярная. Ее распределение задает скалярное поле, описывается скалярной функцией.

Поле плотности тел

Если в пространстве распределена масса, то существует плотность распределения массы. Плотность тела – это скалярная функция, она задает скалярное поле.

Поле давления звуковой волны

Пусть в газе или жидкости распределяется звуковая волна. Звуковые волны являются поперечными волнами. По мере распространения волны в газе или жидкости возникают области сгущения и разряжения. Потому, что колеблется давление. Оно в различных точках пространства отличается. То есть, оно зависит от положения точки в пространстве. Когда скалярная величина – давление, распределена в пространстве, ее распределение описывается скалярной функцией. Эта функция задает скалярное поле.

Поле гравитационного потенциала — распределение потенциальной энергии

По закону всемирного тяготения, тела, имеющие массу, взаимно притягиваются. А если есть взаимодействие, то имеется потенциальная энергия такого взаимодействия. Распределение потенциальной энергии задается скалярной функцией, эта функция описывает скалярное поле и называется гравитационным потенциалом.

Поле распределения электрического потенциала

Заряды, находящиеся на некотором расстоянии, притягиваются, или отталкиваются. Значит, существует потенциальная энергия их взаимодействия. Распределение энергии описывается потенциалом системы заряженных частиц. Электрический потенциал является скалярной функцией, описывающей скалярное поле.

Примеры векторных полей

Это поля распределения векторных величин – сил, скоростей и т. д.

Гравитационное поле сил

Сила всемирного тяготения – это вектор, значит поле, описывающее гравитационное притяжение тел, будет векторным.

Поле скоростей потока жидкости

Когда жидкость течет, одни ее части в потоке двигаются быстрее других. Это значит, что скорости частиц жидкости различаются. Распределение скоростей частиц потока можно описать полем. Скорость – это вектор, значит, поле скоростей потока жидкости – это векторное поле.

Поле Кулоновских сил

Нам известно, что покоящиеся заряды притягиваются, или отталкиваются благодаря Кулоновским силам. Силы такого взаимодействия распределяются в пространстве и задают поле. Это электростатическое поле, оно является векторным полем напряженности.

Поле магнитных сил

Движущиеся заряды взаимодействуют благодаря магнитным полям. Индукция магнитного поля описывает, как сила взаимодействия изменяется в пространстве. Поэтому, индукция магнитного поля является вектор-функцией, задающей векторное магнитное поле.

Примечание: По сути, индукция магнитного поля – это сила, действующая на движущийся заряд со стороны других движущихся зарядов.

Важные уроки

Что мы можем извлечь из четырёх примеров, показывающих волны класса 0? (У уравнения движения есть одна величина, cw, и все волны в соответствующем поле перемещаются со скоростью cw. У разных полей класса 0 будут разные значения cw). Мы можем узнать, что одинаковое поведение поля может появиться из физически различных полей, существующих у физически различных сред. Несмотря на разное происхождение, волны в поле высоты, в поле смещения решётки, в поле магнитной ориентации и в поле давления газа выглядят идентично с точки зрения полей. Они удовлетворяют одному и тому же типу уравнения движения и одному и тому же численному взаимоотношению частоты и длины волны.
Мелкий шрифт: строго говоря, если вы создадите волны достаточно небольшой длины, вы всё же сможете различить поведение различных сред. Как только длины волн сравняются с расстоянием между атомами верёвки, или кристалла, или магнита, волновые уравнения, которым будут удовлетворять волны, окажутся более сложными, чем записанные нами, и их детали позволят отличить среды друг от друга. Но часто в практических экспериментах мы даже близко не подходим к наблюдению подобных эффектов.

Результатом этого будет то, что изучение волн и их квантов, связанное с полями, не обязательно сообщит вам о том, что служит в качестве среды, или какова физическая интерпретация поля – какое из свойств среды оно представляет. И даже, если вы каким-то образом знаете, что это поле определённого типа – допустим, поле давления – вы обычно всё равно не сможете сказать, исходя из его поведения, давление чего именно оно представляет. Всё, что вы можете узнать, изучая волны – принадлежит ли поле к классу 0 или классу 1, и какова у него величина cw; или же узнать, что поле принадлежит к другому классу.

В каких-то случаях это очень плохо; поле передаёт только частичную информацию о среде. Иногда это довольно удобно; поле — более абстрактная и универсальная штука, чем описываемый им физический материал.

Поэтому поле не определяет среду, а его поведение часто не зависит от подробностей и свойств среды. Из-за чего возникает вопрос.

Может ли существовать физическое поле – с волнами, состоящими из квантов, движущихся в пространстве и переносящих энергию – безо всякой поддерживающей его среды?

Выводы

1. Все измеряемые нами величины можно разделить на скалярные, не имеющие направления и, векторные – направление имеющие.
2. Говорят, что задано поле физической величины, когда эта величина распределена в пространстве.
3. В пространстве могут распределяться не только скалярные величины, но и векторные величины.
4. Если в пространстве распределена скалярная величина, то поле называют скалярным, а если — векторная величина, то поле — векторное.
5. Поле стационарное, если оно не изменяется со временем. А если изменяется – тогда поле нестационарное.
6. Люди могут ощущать не все поля. Но обнаружить поле можно с помощью тел, или приборов, чувствительных к этим полям. Например, электрическое поле можно обнаружить по его действию на заряды.
7. Поля на рисунках удобно изображать с помощью специальных линий. Скалярные поля удобно обозначать с помощью линий уровня.
8. Векторные поля изображают с помощью линий, вдоль которых направлены распределенные в пространстве векторы. Такие линии носят название силовых линий, линий напряженности поля, линий индукции поля.
9. Векторные и скалярные поля можно связать. Для этого можно использовать специальный вектор – вектор градиента.
10. Однородное поле в каждой точке пространства оно имеет одно и то же значение распределенной величины. Однородные силовые поля изображают прямыми линиями, расстояние между которыми сохраняется.
11. Неоднородное поле в разных точках пространства оно имеет различные значения распределенной величины. Неоднородные поля изображают кривыми линиями, расстояние между ними изменяется.
12. Чем гуще располагаются линии поля в какой-либо области, тем больше его значение в этой области.